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\newmdtheoremenv[
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% 定义说明环境样式
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  {}% 缩进量
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  {}% 说明标记后的垂直空间
% 使用新定义的样式创建说明环境
\theoremstyle{mystyle}
\newtheorem*{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{5.5 习题}
\maketitle

\section*{5.5.1}

证明：

反证法。假设$M^\prime$是$-E$最大下界，且$M^\prime \neq -M$，
由实数序的三歧性可知，要么$M^\prime < -M$，要么$M^\prime > -M$。接下来，我们分情况讨论：

$M^\prime < -M$，那么，此时存在$x \in -E$，使得$-M > x \geq M^\prime$，而$-x \in E$，于是
  \begin{align*}
    M < -x
  \end{align*}
  这与$M$是$E$的最小上界矛盾。

$M^\prime > -M$，那么，此时不存在$x \in -E$，使得$-M \leq x < M^\prime$，即$M \geq -x > -M^\prime$，但由于$M$是$E$的最小上界，
  所以一定存在$-x \in E$使得$M \geq -x > -M^\prime$，否则$E$的最小上界就不是$M$了，所以存在矛盾。


  综上，命题得证。

  \section*{5.5.2}

  证明：

  由于$L,K$都是整数，且$L < K$可知，$K - L$是正自然数，
  现在通过对$K - L$进行归纳来完成证明【提示信息中有提到归纳证明】。

  归纳基始，$K-L=1$，此时$m=K,m-1=L$，由题设信息可知，该$m$是满足命题的。

  归纳假设，$K-L=n$时，存在$m$满足命题。

  现在假设$K-L=n+1$时，由于$L < L + 1 < K$，

  如果$(L + 1)/n$是集合$E$的上界，
  此时可以取$m=L+1$，又由题设可知$(m-1)/n=L/n$不是$E$的上界，此时的$m$满足命题。

  如果$(L + 1)/n$不是集合$E$的上界，由归纳假设可知，存在$m, L+1 < m \leq K$满足命题。

  至此，完成归纳。

  \section*{5.5.3}

  证明：

  由于$m/n$是$E$的上界，而$(m^\prime -1)/n$不是$E$的上界，所以
  \begin{align*}
    m^\prime -1 & < m                                           \\
    m^\prime    & \leq m & \text{【题设说明了$m,m^\prime$是整数，否则无法成立】}
  \end{align*}

  由于$m^\prime/n$是$E$的上界，而$(m -1)/n$不是$E$的上界，所以
  \begin{align*}
    m - 1 & < m^\prime                                           \\
    m     & \leq m^\prime & \text{【题设说明了$m,m^\prime$是整数，否则无法成立】}
  \end{align*}

  所以$m = m^\prime$

  \section*{5.5.4}

  证明：

  （1）对任意有理数$\epsilon > 0$，由推论5.4.13可知，存在正整数$M$使得$M\epsilon > 1$，
  此时，
  \begin{align*}
    \epsilon > 1/M
  \end{align*}
  由题设可知，对任意$j,k \geq M$都有$d(q_j,q_k) \leq \frac{1}{M} < \epsilon$，
  即：序列对任意$\epsilon > 0$是最终$\epsilon -$稳定的，所以，序列是柯西序列

  （2）由实数的运算法则可知，
  \begin{align*}
    q_M - S & = LIM_{n\rightarrow \infty}q_M - q_n \\
  \end{align*}
$q_M - S$是一个实数，现在通过实数的三歧性分别讨论。

$q_M - S = 0$，显然是满足命题的。

$q_M - S > 0$，则存在$N \geq 1$使得$q_M - q_n > 0$对$n \geq N$均成立【因为序列是最终正远离0的】。

  又由题设可知，当$n \geq max(N, M)$时，$|q_M - q_n| \leq \frac{1}{M}$，结合$q_M - q_n > 0$可知，
  \begin{align*}
    0 < q_M - q_n \leq \frac{1}{M}
  \end{align*}
  于是由习题5.4.8可知，
  \begin{align*}
    0 & < LIM_{n\rightarrow \infty}q_M - q_n  \leq \frac{1}{M} \\
      & \Rightarrow                                            \\
    0 & < q_M - S                             \leq \frac{1}{M}
  \end{align*}
  【\textbf{注}：不用考虑前$max(N,M)$的情况，这里运用命题：
  \textbf{一个柯西序列$(a_n)_{n=1}^\infty$，删除开头$k-1$个元素得到序列$(a_n)_{n=k}^\infty$，两个序列还是等价的} 】。

$q_M - S < 0$，类似可证。

  综上，命题得证。

  \section*{5.5.5}

  证明：

  给定任意两个有理数$x < y$，我们能够找到一个无理数$q$使得$x < q < y$。

这个命题此时无法证明，无理数的定义到现在为止，书中还没有定义。
\end{document}